Question

(1)已知函数为有理数且)，求函数的最小值;

(2)①试用(1)的结果证明命题：设为有理数且，若时，则；

②请将命题推广到一般形式，并证明你的结论；

注：当为正有理数时，有求导公式

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）①关键是利用函数的最小值为②利用数学归纳法可证。

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）令

得

当时，，故在上递减．

当，故在上递增．

所以，当时，的最小值为 

（Ⅱ）（ⅰ），令，由（Ⅰ）知

，，即 

（ⅱ）命题推广到一般形式为：设为有理数且，

若时，则.

下面用数学归纳法证明如下：①当时，由（Ⅱ）（ⅰ）知，不等式成立；

②假设时，不等式成立，即，

那么时，要证，

即证，

设函数，

则，

令，得，

当时，，

故在上递减；

当，类似可证，故在上递增．

当时，的最小值为

，

由归纳假设知，所以，

，

时不等式成立.

综上，原命题得证 

考点：数学归纳法

点评：本题用到的数学归纳法，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。若要证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立。对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

（2）假设当n=k（k≥，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥），命题P(n）都成立。