Question

若函数f（x）同时满足：
①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；　
②对于定义域上的任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”．
给出下列四个函数中：（1）f（x）=　 （2）f（x）=x²　（3）f（x）= （4）f（x）=，能被称为“理想函数”的有________（填相应的序号）．

Answer 1

解：依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f（x）为定义域上的单调减函数，
（1）f（x）= 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为（-∞，0），（0，+∞），故排除（1）；
（2）f（x）=x² 为定义域上的偶函数，排除（2）；
（3）f（x）==1-，定义域为R，由于y=2^x+1在R上为增函数，故函数f（x）为R上的增函数，排除（3）；
（4）f（x）=的图象如图：显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故（4）为理想函数
故答案为 （4）
分析：先理解已知两条性质反映的函数性质，①f（x）为奇函数，②f（x）为定义域上的单调减函数，由此意义判断题干所给四个函数是否同时具备两个性质即可
点评：本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义，基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法，复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法