Question

18．已知a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{3}^{n}-{2}^{n}}{{3}^{n}+{2}^{n}}，n≤2014}\\{\frac{{2}^{n}-{3}^{n}}{{2}^{n}+{3}^{n}}，n≥2015}\end{array}\right.$，则$\underset{lim}{n→∞}$a_n=-1．

Answer 1

分析 分析知$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2^n-3^n}{2^n+3^n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{（\frac{2}{3}）^n-1}{（\frac{2}{3}）^n+1}$．

解答 解：当n→∞时，只需考虑a_n=$\frac{2^n-3^n}{2^n+3^n}$（n≥2015），
则$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2^n-3^n}{2^n+3^n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{（\frac{2}{3}）^n-1}{（\frac{2}{3}）^n+1}$，
其中，$\underset{lim}{n→∞}$$（\frac{2}{3}）^n$=0，
所以，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{（\frac{2}{3}）^n-1}{（\frac{2}{3}）^n+1}$=$\frac{0-1}{0+1}$=-1，
故填：-1．

点评 本题主要考查了极限及其运算，对于分段数列，其极限只需考虑n→∞时对应的分段，属于基础题．