Question

5．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与双曲线C₂：x²-y²=4有相同的右焦点F₂，点P是椭圆C₁和双曲线C₂的一个公共点，若|PF₂|=2，则椭圆C₁的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\sqrt{2}-1$
• D． $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用双曲线、椭圆的定义，求出a，利用双曲线的性质，求出c，即可求出椭圆C₁的离心率．

解答 解：由题意，不妨设P在第一象限，
∵|PF₂|=2，∴|PF₁|=6，
∴2a=|PF₂|+|PF₂|=8，
∴a=4．
∵双曲线C₂：x²-y²=4可化为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴c=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$
∵椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与双曲线C₂：x²-y²=4有相同的右焦点F₂，
∴c=2$\sqrt{2}$，
∴椭圆C₁的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查椭圆与双曲线的几何性质，解题的关键是正确运用离心率的定义，属于基础题．