Question

（2008•镇江一模）在△ABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，不等式x²cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立．
（1）求角C的最大值；
（2）若角C取得最大值，且a=2b，求角B的大小．

Answer 1

分析：（1）易知cosC=0不满足条件，因此cosC≠0，由不等式x²cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立?△=16sin²C-24cosC≤0，cosC＞0，化为2cos²x+3cosx-2≥0，
解得及0＜C＜π，即可得到角C取得最大值．
（2）角C取得最大值时为

π

3

，由a=2b，根据正弦定理可得sinA=2sinB，于是sin(

2π

3

-B)=2sinB，化为

3

cosB=5sinB，与sin²B+cos²B=1联立及B＜A，即可得出．

解答：解：（1）易知cosC=0不满足条件，因此cosC≠0，
由不等式x²cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立，
∴△=16sin²C-24cosC≤0，cosC＞0，化为2cos²x+3cosx-2≥0，
解得cosC≥

1

2

，
又0＜C＜π，当cosC=

1

2

时，角C取得最大值

π

3

．
（2）角C取得最大值时为

π

3

，
∵a=2b，根据正弦定理可得sinA=2sinB，
∴sin(

2π

3

-B)=2sinB，化为

3

cosB=5sinB，与sin²B+cos²B=1联立解得cos2B=

25

28

．
∴a=2b，∴B＜A，∴cosB=

5 7

14

．
∴B=arccos

5 7

14

．

点评：熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式△的关系、分类讨论的思想方法、三角函数的单调性、平方关系、两角和差的正弦余弦公式等是解题的关键．