Question

甲、乙两队进行球类比赛，约定先胜3局获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛相互独立．已知第一局比赛已经结束，且甲队获胜．
（1）求甲队获得这次比赛胜利的概率；
（2）设ξ表示从第二局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；
（2）ξ的取值可能为2，3，4，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．

解答：解：（1）甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜
①3：0，概率为P₁=0.6²=0.36
②3：1，概率为P₂=

C

1 2

0.6×0.4×0.6=0.288
③3：2，概率为P₃=

C

1 3

0.6×0.42×0.6=0.1728
∴甲队获得这次比赛胜利的概率为P=P₁+P₂+P₃=0.36+0.288+0.1728=0.8208；
（2）ξ的取值可能为2，3，4
P（ξ=2）=0.6²=0.36
P（ξ=3）=

C

1 2

0.6×0.4×0.6+0.4³=0.352
P（ξ=4）=

C

1 3

0.6×0.42×0.6+

C

2 3

0.42×0.6×0.4=0.288
则ξ的分布列为

ξ	2	3	4
P	0.36	0.352	0.288

∴E（ξ）=2×0.36+3×0.352+4×0.288=2.928

点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．