Question

（文）一个多面体的三视图（正前方垂直于平面AA₁B₁B）及直观图如图（一）所示，（如图二）M、N分别是A₁B、B₁C₁的中点．
（1）计算多面体的体积；
（2）求证MN∥平面AA₁C₁C；
（3）若O是AB的中点，求证AM⊥平面A₁OC．

Answer 1

分析：（1）由已知中的三视图，我们易得到这是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，且底面直角边和棱柱高均为a，代入棱柱体积公式，即可得到答案．
（2）连AB₁，AC₁，由矩形的性质及三角形中位线定理，易得MN∥AC₁，再由线面平行的判定定理，即可得到MN∥平面AA₁C₁C；
（3）若O是AB的中点，根据已知易得∠AA₁B₁=∠AOA₁，即AB₁⊥A₁O，再结合直三棱柱侧面与底面垂直，我们结合CO⊥AB，及面面垂直的性质可得OC⊥平面AA₁B₁B，进而得到AB₁⊥OC，再由线面垂直的判定定理可得AB₁⊥平面A₁OC，即AM⊥平面A₁OC．

解答：解：（1）如图可知，在这个多面体的直观图中，
AA₁⊥平面ABC，且AB⊥AC，AB=AC=CC₁=a，
所以V=

1

2

a2•a=

1

2

a3；
（2）连AB₁，AC₁，由矩形性质得：AB₁与A₁B交于点M，
在△AB₁C₁中，由中位线性质得MN∥AC₁，
又因为MN?平面AA₁C₁C，
所以MN∥平面AA₁C₁C；
（3）在矩形AA₁B₁B中，tan∠AA₁B₁=

2

，tan∠AOA₁=

2

，
所以∠AA₁B₁=∠AOA₁，
所以AB₁⊥A₁O，
又因为平面ABC⊥平面AA₁B₁B，CO⊥AB，
所以OC⊥平面AA₁B₁B，
所以OC⊥AB₁，即AB₁⊥OC，又A₁O∩OC=O，
所以AB₁⊥平面A₁OC，
即AM⊥平面A₁OC．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平等的判定，直线与平面垂直的判定，其中熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理，性质定理、定义及几何特征，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．