Question

如图，曲线C₁是以原点O为中心，F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分．曲线C₂是以O为顶点，F₂为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C₁和C₂的交点且∠AF₂F₁为钝角，若|AF₁|=，|AF₂|=．
（I）求曲线C₁和C₂的方程；
（II）设点C是C₂上一点，若|CF₁|=|CF₂|，求△CF₁F₂的面积．

Answer 1

【答案】分析：（I）设曲线C₁的方程为，则根据|AF₁|=，|AF₂|=，可得a=3，设A（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），则（x+c）²+y²=，（x-c）²+y²=，由此可求曲线C₁和C₂的方程；
（II）过点F₁作直线l垂直于x轴，过点C作直线CC₁⊥l于点C₁，依题意知l为抛物线C2的准线，则|CC₁|=|CF₂|，在△CF₁F₂中，设|CF₂|=r，则|CF₁|=r，|F₁F₂|=2，由余弦定理可得r=2，再利用三角形的面积公式，即可求得结论．
解答：解：（I）设曲线C₁的方程为，则2a=|AF1|+|AF2|=得a=3
设A（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），则（x+c）²+y²=，（x-c）²+y²=
两式相减可得：xc=
由抛物线定义可知|AF₂|=x+c=
∴c=1，x=或x=1，c=（舍去）
所以曲线C₁的方程为，C₂的方程为y²=4x（0≤x≤）；
（II）过点F₁作直线l垂直于x轴，过点C作直线CC₁⊥l于点C₁，依题意知l为抛物线C₂的准线，则|CC₁|=|CF₂|
在直角△CC₁F₁中，|CF₁|=|CC₁|，∠C₁CF₁=45°
∵∠CF₁F₂=∠C₁CF₁=45°
在△CF₁F₂中，设|CF₂|=r，则|CF₁|=r，|F₁F₂|=2
由余弦定理可得2²+2r²-2×2×rcos45°=r²，
∴r=2
∴S_△CF1F2=
点评：本题考查了椭圆，抛物线方程的求法，考查三角形面积的计算，求得方程是关键．