Question

已知函数f（x）=cos²（x+

π

12

），g（x）=1+

1

2

sin2x．
（1）设x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（2x₀）的值；
（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，

π

4

]的单调递增区间；
（3）令p（x）=f（x）+g（x）-

3

2

，说明如何变换函数y=sin2x的图象得到函数 p（x）的图象？

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦可求得f（x）=

1

2

[1+cos（2x+

π

6

）]，x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴⇒2x₀+

π

6

=kπ⇒g（x₀）=1+

1

2

sin（kπ-

π

6

），对k分k为偶数与k为奇数讨论即可求得g（2x₀）的值；
（2）利用三角函数间的恒等变换可求得h（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

2

，x∈[0，

π

4

]，再利用正弦函数的单调性即可求得函数h（x）在x∈[0，

π

4

]的单调递增区间；
（3）依题意，p（x）=f（x）+g（x）-

3

2

=

1

2

sin（2x+

π

3

），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得如何由函数y=sin2x的图象得到函数 p（x）的图象．

解答：解：（1）由题设知f（x）=

1

2

[1+cos（2x+

π

6

）]，
∵x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，
∴2x₀+

π

6

=kπ，即2x₀=kπ-

π

6

（k∈Z），
∴g（x₀）=1+

1

2

sin2x₀=1+

1

2

sin（kπ-

π

6

），
当k为偶数时，g（x₀）=1+

1

2

sin（-

π

6

）=1-

1

4

=

3

4

；
当k为奇数时，g（x₀）=1+

1

2

sin

π

6

=1+

1

4

=

5

4

．
（2）h（x）=f（x）+g（x）
=

1

2

[1+cos（2x+

π

6

）]+1+

1

2

sin2x
=

1

2

[cos（2x+

π

6

）+sin2x]+

3

2

=

1

2

（

3

2

cos2x+

1

2

sin2x）+

3

2

=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

2

，x∈[0，

π

4

]．
当2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ-

π

2

，即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）时，函数h（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

2

是增函数，
又x∈[0，

π

4

]，
故函数h（x）在∈[0，

π

4

]的单调递增区间是[0，

π

12

]．
（3）∵p（x）=f（x）+g（x）-

3

2

=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

2

-

3

2

=

1

2

sin（2x+

π

3

），
∴要得到p（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

）的图象，
需将y=sin2x的图象向左平移

π

6

个单位（纵坐标不变），得到y=sin（2x+

π

3

）的图象，再将y=sin（2x+

π

3

）的图象的纵坐标缩小为原来的

1

2

（横坐标不变），即可得到p（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

）的图象．

点评：本题考查二倍角的余弦、三角函数间的恒等变换、正弦函数的对称性、单调性及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变的综合应用，考查分析与运算能力，属于难题．