Question

（2013•宁德模拟）若点集M满足：任意（x，y）∈M，均有（kx，ky）∈M，其中k∈（0，1），则称该点集M是“k阶保守”点集．下列集合：
①{（x，y）丨x²≥y}，②{（x，y）丨2x²+y²＜1}，③{（x，y）x²+y²+x+2y=0}，④{（x，y）丨x³+y³-x²y=0}，其中是“

1

2

阶保守”点集的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①③取特殊点进行排除，②④利用定义进行验证即可．

解答：解：①由题意，取点（1，1），则（1，1）∈M，但是（

1

2

，

1

2

）∉M，∴点集M不是“

1

2

阶保守”点集；
②∵（x，y）∈{（x，y）丨2x²+y²＜1}，∴2x²+y²＜1
∵2×(

1

2

x)2+(

1

2

y)2=

1

4

（2x²+y²）＜

1

4

＜1，∴点集M是“

1

2

阶保守”点集；
③由题意，取点（0，-2），则（0，-2）∈M，但是（0，-1）∉M，∴点集M不是“

1

2

阶保守”点集；
④∵（x，y）∈{（x，y）丨x³+y³-x²y=0}，∴x³+y³-x²y=0
∴(

1

2

x)3+(

1

2

y)3-(

1

2

x)2•

1

2

y=

1

8

（x³+y³-x²y）=0
∴点集M是“

1

2

阶保守”点集
故选B．

点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，正确命题利用定义证明，错误命题列举反例．