精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削   去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中,M是BD的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.
(Ⅰ)求出该几何体的体积;
(Ⅱ)求证:EM∥平面ABC;
(Ⅲ)试问在棱DC上是否存在点N,使NM⊥平面BDE?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(I)由图可以看出,几何体可以看作是以点B为顶点的四棱锥,其与底面积易求;
(II)证明线EM与面ABC中一线平行即可利用线面平行的判定定理得出线面平行,由图形易得,可构造平行四边形证明线线平行,取BD中点M,EM,MG,AG,即可;
(III)本题是个存在问题,解法一:可先根据题设中的条件,推断图形中的位置关系并确定点的位置,再进行证明.
解法二:解决本题最好用向量法,建立空间坐标系,依据题设条件直接给出点的坐标,用向量表示出位置关系对应的方程,进行求解,若解出的坐标存在于所要求的位置,则说明存在.
解答:解:(Ⅰ)证明:由题意,EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,AE∥DC,AE=2,DC=4,AB⊥AC,且AB=AC=2
∵EA⊥平面ABC,
∴EA⊥AB,又AB⊥AC,∴AB⊥平面ACDE
∴四棱锥B-ACDE的高h=AB=2,梯形ACDE的面积S=6

即所求几何体的体积为4(4分)
(Ⅱ)证明:∵M为DB的中点,取BC中点G,连接EM,MG,AG,
∴MG∥DC,且MG=DC∴MG=AE,
∴四边形AGME为平行四边形,
∴EM∥AG,又AG⊆平面ABC∴EM∥平面ABC.(8分)
(Ⅲ)解法1:由(Ⅱ)知,EM∥AG,
又∵平面BCD⊥底面ABC,AG⊥BC,∴AG⊥平面BCD
∴EM⊥平面BCD,又∵EM?平面BDE,
∴平面BDE⊥平面BCD
在平面BCD中,过M作MN⊥DB交DC于点N,
∴MN⊥平面BDE,点N即为所求的点,
∵△DMN∽△DCB∴
∴边DC上存在点N,满足DN=DC时,有NM⊥平面BDE.(13分)
解法2:以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0)
D(-2,0,4),E(0,0,2),M(-1,1,2),=(2,2,-4),=(2,0,-2),=(0,0,-4),=(1,1,-2).
假设在DC边上存在点N满足题意

∴边DC上存在点N,满足DN=DC时,NM⊥平面BDE.(13分)
点评:本题是一个立体几何综合题,涉及到了求几何体的体积,证线面平行,确定线面垂直的条件,涉及到的定理与技巧较多,对答题者的空间感知能力,问题的转化能力要求较高,难度较大.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削   去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中,M是BD的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.
(Ⅰ)求出该几何体的体积;
(Ⅱ)求证:EM∥平面ABC;
(Ⅲ)试问在棱DC上是否存在点N,使NM⊥平面BDE?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:江西省月考题 题型:解答题

如图,是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中,M是BD的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.
(Ⅰ)求出该几何体的体积;
(Ⅱ)求证:EM∥平面ABC;
(?)试问在棱DC上是否存在点N,使NM⊥平面BDE?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年江西省吉安市吉安县二中高二(上)第二次周考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

如图,是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削   去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中,M是BD的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.
(Ⅰ)求出该几何体的体积;
(Ⅱ)求证:EM∥平面ABC;
(Ⅲ)试问在棱DC上是否存在点N,使NM⊥平面BDE?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年浙江省绍兴一中高三(下)回头考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

如图,是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削   去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中,M是BD的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.
(Ⅰ)求出该几何体的体积;
(Ⅱ)求证:EM∥平面ABC;
(Ⅲ)试问在棱DC上是否存在点N,使NM⊥平面BDE?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案