Question

已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：①f（x）在其定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是

a

2

，最大值是

b

2

．请解答以下问题：
（1）判断函数g（x）=-x³是否属于集合M？并说明理由，若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；
（2）若函数h(x)=

x-1

+t∈M，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数g（x）的定义域为 R，利用导数求得函数g（x）在R上是减函数，故满足条件①．若g（x）∈M，当x∈[a，b]时，

g(a)= b 2 g(b)= a 2 a＜b

，解得a、b的值，可得满足条件②的闭区间存在，从而g（x）属于集合M．
（2）利用导数可得函数h（x）在定义域[1，+∞）上是增函数．若h（x）∈M，则存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得h(a)=

a

2

，h(b)=

b

2

，即a-2

a-1

-2t=0，且b-2

b-1

-2t=0．令

x-1

=y(x≥1)，则y≥0，于是关于y的方程y²-2y+1-2t=0在[0，+∞）上有2个不等实根，利用二次函数的性质求得t的范围．

解答：解：（1）函数g（x）=-x³的定义域为 R，g′（x）=-3x²≤0 （仅在x=0时取等号），
故函数g（x）在R上是减函数，故满足条件①．
若g（x）∈M，当x∈[a，b]时，

g(a)= b 2 g(b)= a 2 a＜b

，即

-a3= b 2 -b3= a 2 a＜b

，解得

a=- 2 2 b= 2 2

，故满足条件②的闭区间为[-

2

2

，

2

2

]．
由此可得，g（x）属于集合M．
（2）函数h（x）的定义域是[1，+∞），当x＞1时，h′(x)=

1

2 x-1

＞0，故函数h（x）在[1，+∞）上是增函数，…（10分）
若h（x）∈M，则存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得h(a)=

a

2

，h(b)=

b

2

，即a-2

a-1

-2t=0，且b-2

b-1

-2t=0，…（12分）
令

x-1

=y(x≥1)，则y≥0，
于是关于y的方程y²-2y+1-2t=0在[0，+∞）上有两个不等的实根，…（14分）
记u（y）=y²-2y+1-2t，∴

△＞0 u(0)≥0.

，∴t∈(0，

1

2

]．…（16分）

点评：本题主要考查函数的定义域、单调性的应用，求函数的最值，体现了转化的数学思想，属于中档题．