精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知函数 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）设x为三角形的内角，且函数y=2f（x）+k恰有两个零点，求实数k的取值范围．

解：（1）由题意可得f（x）= $\text{[math]}$ =cos2x-cos（2x- $\text{[math]}$ ）+1
=cos2x- $\text{[math]}$ cos2x- $\text{[math]}$ sin2x+1= $\text{[math]}$ cos2x- $\text{[math]}$ sin2x+1
=1-sin（2x- $\text{[math]}$ ），所以其最小正周期为π，
由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ ，k∈Z，
故函数的单调递减区间为：（kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ），k∈Z，
（2）由（1）知：y=2f（x）+k=2+k-2sin（2x- $\text{[math]}$ ）
因为x为三角形的内角，且函数y=2f（x）+k恰有两个零点，
即方程sin（2x $\text{[math]}$ ）=1+ $\text{[math]}$ 在区间（0，π）上恰有两根，
∴-1 $\text{[math]}$ 且1+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
解得-4＜k＜0，且k≠-3
分析：（1）由题意可得f（x）的解析式，可得周期，由整体法可得单调区间；（2）由（1）知：y=2f（x）+k=2+k-2sin（2x- $\text{[math]}$ ），原问题可转化为方程sin（2x $\text{[math]}$ ）=1+ $\text{[math]}$ 在区间（0，π）上恰有两根，可得不等式-1 $\text{[math]}$ 且1+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，解之即可．
点评：本题为三角函数与向量的结合，涉及三角函数的周期单调性和函数的零点，属中档题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>