Question

设数列{a_n}前和n为S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*）．其中m为常数，m≠-3，且m≠0．
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）若数列{a_n}的公比q=f（m）=

2m

m+3

且数列{b_n}中，b1=a1，bn=

3

2

f(bn-1)(n∈N*，n≥2)，求b_n的表达式．

Answer 1

分析：（1）利用式子（3-m）S_n+2ma_n=m+3求出（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，相减得到

am+1

am

=

2m

m+3

为常苏，即可得证．
（2）先求出b₁=1，再根据题意得到数列{b_n}的表达式，构造新的数列，求出新苏烈的表达式，进而求出数列{b_n}的表达式．

解答：解：（1）证明：有（3-m）S_n+2ma_n=m+3，得（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，（2分）
两式相减，得（3+m）a_n+1=2ma_n（m≠3）（4分）
∴

am+1

am

=

2m

m+3

为常数，∴{a_n}是等比数列（5分）

（2）由（3-m）a₁+2ma₁=m+3，得（m+3）a₁=m+3，∵m≠-3∴a₁=1，b₁=1，（6分）
q=

2m

m+3

，n∈N，且n≥2时，bn=

3

2

2bn-1

bn-1+3

=

3bn-1

bn-1+3

，（7分）

1

bn

-

1

bn-1

 =

1

3

，（9分）
∴{

1

bn

} 是1为首项

1

3

为公差的等差数列，（10分）
∴

1

bn

=

n+2

3

（11分）
∴bn=

3

n+2

（12分）

点评：此题主要考查等比数列的这鞥名以及构造新数列求解数列表达式的方法．