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已知指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1).
(Ⅰ)若f(x)的图象过点(1,2),求其解析式;
(Ⅱ)若g(x)=
f(x)-1f(x)+1
,且不等式g(x2+x)>g(3-x)成立,求实数x的取值范围.
分析:(Ⅰ)由f(x)=ax(a>0,a≠1)的图象过点(1,2),求得a=2,可得f(x)的解析式.
(Ⅱ)由以上可得g(x)的解析式,由解析式可得函数g(x)在定义域上单调递增,故由不等式g(x2+x)>g(3-x)成立,可得 x2+x>3-x,由此解得x的范围
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=ax(a>0,a≠1)的图象过点(1,2),∴a=2,∴f(x)=2x
(Ⅱ)由以上可得 g(x)=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1
,∵g(x)在定义域上单调递增,
∴由不等式g(x2+x)>g(3-x)成立,可得 x2+x>3-x,即x2+2x-3>0,解得x∈(-∞,-3)∪(1,+∞).
点评:本题主要考查用待定系数法求函数的解析式,指数函数的性质、函数的单调性的应用,属于中档题.
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