Question

已知轴对称平面五边形ADCEF（如图1），BC为对称轴，ADCD，AD=AB=1，CD=BC=，将此图形沿BC折叠成直二面角，连接AF、DE得到几何体（如
图2）
（1）证明：AF∥平面DEC；
（2）求二面角E-AD-B的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的坐标系．求出各点坐标以及和的坐标，进而得到两向量共线，即可证明线面平行．
（2）先根据条件求出两个半平面的法向量的坐标，进而求出二面角E-AD-B的余弦值，再结合同角三角函数之间的关系即可求出结论．
解答：解：（1）以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的坐标系．
由已知与平面几何知识得，
A（0，0，1），F（1，0，0），D（0，，），E（，，0），
∴=（1，0，-1），=（，0，-），
∴=，∴AF∥DE，
又DE在平面DCE内，AF不在平面DEC内，
∴AF∥平面DEC…（6分）
（2）由（1）得A，D，E，F四点共面，=（1，0，-1），AD=（0，，），
设垂直于平面ADEF，=（x，y，z），则⇒，
不妨令y=-1，故=（，-1，），
由已知得平面ABCD的一个法向量为=（1，0，0），
∴cos＜，＞====，
设二面角E-AD-B的平面角为α
∴tanα===．
∴二面角E-AD-B的正切值为．…（12分）
点评：本题主要考察用空间向量求平面间的夹角以及线面平行的证明．一般在证明线面平行时，常转化为证明线线平行．