Question

已知向量，

a

=（m，1），

b

=（sinx，cosx），f（x）=

a

•

b

且满足f（

π

2

）=1．
（1）求函数y=f（x）的解析式；并求函数y=f（x）的最小正周期和最值及其对应的x值；
（2）锐角△ABC中，若f（

π

12

）=

2

sinA，且AB=2，AC=3，求BC的长．

Answer 1

（1）∵

a

=(m，1)，

b

=(sinx，cosx)，
∴f（x）=

a

•

b

=msinx+cosx，
又∵f(

π

2

)=1，∴msin

π

2

+cos

π

2

=1解之得m=1．…（2分）
∴f(x)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)．…（4分）
可得函数的最小正周期T=2π．…（5分）
当x=

π

4

+2kπ(k∈Z)时，f（x）的最大值为

2

；当x=

5π

4

+2kπ(k∈Z)时，f（x）最小值为-

2

…．（7分）
（2）∵f(

π

12

)=

2

sinA，可得f(

π

12

)=

2

sin

π

3

=

2

sinA
∴sinA=sin

π

3

．…（8分）
∵A是锐角△ABC的内角，∴A=

π

3

．…（9分）
∵AB=2，AC=3
∴由余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2•AB•ACcosA=7．…（10分）
解之得BC=

7

（舍负）．…（12分）