Question

已知f(x)＝x³＋bx²＋cx＋2．

(Ⅰ)若f(x)在x＝1时，有极值－1，求b、c的值；

(Ⅱ)当b为非零实数时，证明f(x)的图像不存在与直线(b²－c)x＋y＋1＝0平行的切线；

(Ⅲ)记函数|(x)|(－1≤x≤1)的最大值为M，求证：M≥．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)∵(x)＝3x2＋2bx＋c， 　　由f(x)在x＝1时，有极值－1得(2分) 　　即(3分) 　　当b＝1，c＝－5时， 　　(x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1)， 　　当x＞1时，(x)＞0， 　　当－＜1时，(x)＜0． 　　从而符合在x＝1时，f(x)有极值，∴(4分); 　　(Ⅱ)假设f(x)图像在x＝t处的切线与直线(b2－c)x＋y＋1＝0平行， 　　∵(t)＝3t2＋2bt＋c，直线(b2－c)x＋y＋1＝0的斜率为c－b2， 　　∴3t2＋2bt＋c＝c－b2，(7分) 　　即3t2＋2bt＋b2＝0． 　　∵Δ＝4(b2－3b2)＝－8b2， 　　又∵b≠0，∴Δ＜0． 　　从而方程3t2＋2bt＋b2＝0无解，因此不存在t，使(t)＝c－b2，却f(x)的图像不存在与直线(b2－c)x＋y＋1＝0平行的切线.(9分); 　　(Ⅲ)证法一：∵|f'(x)|＝|3(x＋)2＋c－|，①若|－|1，则M应是|(－1)|和|(1)|中最大的一个，∴2M|≥(－1)|＋|(1)|＝|3－2b＋c|＋|3＋2b＋c|≥|4b|＞12，∴M＞6，从而M≥．(11分) 　　②当－3≤b≤0时，2M≥|(－1)＋|(－)| 　　＝|3－2b＋c|＋|c－|≥|－2b＋3|＝|(b－3)2|≥3，所以M≥． 　　③当0＜b≤3时，2M≥|(1)|＋|(－)|＝|3＋2b＋c|＋|c－|≥|＋2b＋3| 　　＝|(b＋3)2|＞3，∴M≥． 　　综上所述，M≥(14分) 　　证法二：(x)＝3x2＋2bx＋c的顶点坐标是()， 　　①若|－|＞1，则M应是|(－1)|和|(1)|中最大的一个， 　　∴2M≥|(－1)|＋|(1)|＝|3－2b＋c|＋|3＋2b＋c|≥4|b|＞12， 　　∴M＞6，从而M≥.(11分) 　　②若|－|≤1，则M是|(－1)|、|(1)|、||中最大的一个． 　　(i)当c≥－时，2M≥|(1)|＋|(－1))|≥|(1)|＋(－1)|＝|6＋2c|≥3，∴M≥; 　　(2)当c＜－时，M≥－c≥－c＞， 　　综上所述，M≥成立．　　　　　　　(14分) 　　证法三：∵M是|(x)|，x∈[－1，1]的最大值， 　　∴M≥|(0)|，M≥|(1)|，M≥|(－1)|　　　　　　　　　(11分) 　　∴4M≥2|(0)|＋|(1)|＋|(－1)|≥|(1)＋(－1)－2(0)|＝6，即M≥．　　　　　　　(14分)