Question

某企业有A、B两种型号的家电产品参加家电下乡活动，若企业投放A、B两种型号家电产品的价值分别为a、b万元，则农民购买家电产品获得的补贴分别为tlna万元、

1

10

b万元（t＞0且为常数）．已知该企业投放总价值为100万元的A、B两种型号的家电产品，且A、B两种型号的投放金额都不低于10万元．
（1）请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域；
（2）问A、B两种型号的家电产品各投放多少万元时，农民得到的总补贴最多？

Answer 1

分析：（1）先投放A型产品的金额的x万元，则投放B型产品的金额为（100-x）万元，根据农民购买家电产品获得的补贴分别为tlna万元、

1

10

b万元（t＞0且为常数），即可得到农民得到的总补贴的函数解析式；
（2）对于（1）中求得的函数，取导函数，分类讨论确定单调性，从而可求其最大值．

解答：解：（1）设投放A型产品的金额的x万元，则投放B型产品的金额为（100-x）万元，
农民得到的总补贴f（x）=tlnx+

1

10

(100-x)=tlnx-

1

10

x+10
∵x≥10，100-x≥10，∴10≤x≤90，∴其定义域为[10，90]；
（2）f′（x）=

t

x

-

1

10

=

10t-x

10x

（10≤x≤90，t＞0），令f′（x）=0，得x=10t
1°若10t≤10，即0＜t≤1，则f′（x）≤0，∴f（x）在[10，90]为减函数，当x=10时，f（x）有最大值；
2°若10＜10t＜90，即1＜t＜9，则f（x）在[10，10t]是增函数，在[10t，90]是减函数，当x=10t时，f（x）有最大值；
3°若10t≥90即t≥9，f′（x）≥0，则f（x）在[10，90]是增函数，∴当x=90时，f（x）有最大值．
因此，当0＜t≤1时，投放A型产品10万元，投放B型产品90万元；当1＜t＜9时，投放A型产品10t万元，投放B型产品（100-10t）万元；当t≥9时，投放A型产品90万元，投放B型产品10万元，农民得到的总补贴最大．

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用、利用导数研究函数的单调性及函数的最值，考查运算求解能力，分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．