Question

已知：如图，圆锥SO的轴截面是等腰直角三角形，其母线长为4a，A为底面圆周上一点，B是底面圆内一点，且OB⊥AB，C是SA的中点，D是O在SB上的射影．

　　

(Ⅰ)求证：OD⊥平面SAB；

(Ⅱ)设平面SOA和平面SAB所成的二面角为θ(0＜θ＜)，问能否确定θ，使得三棱锥C—SOD的体积最大？若能，求出体积的最大值和对应的θ；若不能，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明 由SO垂直于⊙O所在平面，AB在⊙O内，可得AB⊥SO． 　　∵AB⊥SO，AB⊥OB，OBOS＝O，∴AB⊥平面SOB． 　　而OD平面SOB， 　　∴OD⊥AB． 　　又OD⊥SB，SBAB＝B， 　　∴OD⊥平面SAB． 　　(2)解 由圆锥SO的轴截面是等腰直角三角形，得OS＝OA． 　　又C是SA的中点，∴OC⊥SA． 　　由OD⊥平面SAB，OC⊥SA，得DC⊥SA，∠OCD是平面SOA和平面SAB所成的二面角的平面角，则∠OCD＝θ． 　　又∵OC⊥SA，DC⊥SA，OCDC＝C， 　　∴SA⊥平面COD． 　　由题意知：△COD是Rt△，且． 　　故得：＝·SC＝OD·CD≤ ＝． 　　当且仅当OD＝CD＝a时，最大． 　　即存在θ＝，使得三棱锥C－SOD的体积最大，其体积的最大值为．