Question

（必修3做）设计一个求

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

99×100

的值的程序框图．
（必修5做）请画出以A（3，-1）、B（-1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC的区域（包括边界），写出表示该区域的二元一次不等式组，并求出以该区域为可行域的目标函数z=3x-2y的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法．
（2）本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的可行域，给出对应的约束条件，处理的方法遵循“线定界，点定域”，再使用角点法，求出目标函数的最大值．

解答：（必修3做） 解：程序框图如下：

（必修5做）解：如图所示：△ABC的区域是如图的阴影部分，
直线AB的方程为：x+2y-1=0，BC及CA的直线方程分别是：x-y+2=0，2x+y-5=0．（1分）
在△ABC的内部取一点P（1，1），分别代入x+2y-1，x-y+2，2x+y-5，
得x+2y-1＞0，x-y+2＞0，2x+y-5＜0，（3分）
因此所求区域的不等式组为

x+2y-1≥0 x-y+2≥0 2x+y-5≤0

（4分）
作平行于直线3x-2y=0的直线系l：3x-2y=z，（5分）
当直线y=

3

2

x-

z

2

过A（3，-1）时，直线l在y轴上的截距-

z

2

有最小值-

11

2

此时z有最大值11．（7分）
当直线y=

3

2

x-

z

2

过B（-1，1）时，直线l在y轴上的截距-

z

2

有最大值

5

2

，
此时z有最小值是-5（9分）
故函数z=3x-2y
在约束条件

x+2y-1≥0 x-y+2≥0 2x+y-5≤0

下的最大值是11，最小值是-5．（10分）

点评：（1）本题主要考查设计程序框图解决实际问题．在一些算法中，也经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构．循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件分支结构来判断．在循环结构中都有一个计数变量和累加变量．计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果，计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次．
（2）用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．