Question

函数y=e^x（e为自然对数的底数）的图象向下平移b（0＜b，b≠1）个单位后得到的图象记为C_b，C_b与x轴交于A_b点，与y轴交于B_b点，O为坐标原点
（1）写出C_b的解析式和A_b，B_b两点的坐标
（2）判断线段OA_b，OB_b长度大小，并证明你的结论
（3）是否存在两个互不相等且都不等于1的正实数m，n，使得Rt△OA_mB_m与Rt△OA_nB_n相似，如果相似，能否全等？证明你的结论．

Answer 1

（1）由题得y=e^x-b，
令y=0，A_b（lnb，0）；
令x=0，B_b（0，1-b）．
（2）OA_b=|lnb|，OB_b=|1-b|．
①当0＜b＜1时，OA_b=-lnb，OB_b=1-b．
设函数f（x）-lnx-x-1 （0＜x＜1），
f'（x）=

1

x

-1＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，
∴f（x）＜f（1）=0，
∴-lnx＞-x+1
∴OA_b＞OB_b．
②当b＞1时，同理可得OA_b＞OB_b，
（3）①当三角形同在第二象限时，0＜m＜1，0＜n＜1时，OA_b＞OB_b，
若Rt△OA_mB_m与Rt△OA_nB_n相似，只有

1-m

-lnm

=

1-n

-lnn

?

1-m

lnm

=

1-n

lnn

，
设函数g（x）=

1-x

lnx

（0＜x＜1），
g'（x）=

-lnx- 1 x +1

ln 2x

=

x-xlnx-1

xln 2x

（0＜x＜1），
设函数h（x）=x-lnx-1，h'（x）=-lnx＞0在（0，1）上恒成立，
∴h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）=0在（0，1）上恒成立，
∴g'（x）＜0在（0，1）上恒成立，g（x）在（0，1）上单调递减，
所以当0＜m＜1，0＜n＜1时，不存在．当三角形同在第四象限时，m＞1，n＞1，同理可得m，n不存在．
③当三角形在不同象限时，不妨设0＜m＜1，n＞1时，若Rt△OA_mB_m与Rt△OA_nB_n相似，
则OA_m＞OB_m，OA_n＜OB_n，则有

lnm

m-1

=

n-1

lnn

，
设M={f₁m|f₁m=

lnm

m-1

（0＜m＜1）}，N={f₂（n）|f₂（n）=

n-1

lnn

（n＞1）}，
有g（x）性质可得：取m∈（

1

e3

，

1

e

），f₁（m）=

lnm

m-1

在（

1

e3

，

1

e

）上单调递增，
∴f₁（m）∈[

e

e-1

，

3e3

e3-1

]，2∈[

e

e-1

，

3e3

e3-1

]
取n∈[e，e²]，f₂（n）=

n-1

lnn

在[e，e²]递增，
∴f2(n)∈[e-1，

e2-1

2

]，2∈[e-1，

e2-1

2

]．
可得M∩N≠φ，因此存在0＜m＜1，n＞1，使得Rt△OA_mB_m与Rt△OA_nB_n相似．
如果全等，则有.

OA m=OB n OB m=OA n

?

-lnm=n-1 1-m=lnn

?

lnm=1-n lnn=1-m

．
由lnm=1-n?m=e^1-n，代入lnn=1-m，
lnn=1-e^1-n?eⁿlnn=eⁿ-e．
设函数F（x）=e^xlnx-e^x+e （x＞1），
F'（x）=e^xlnx+

ex

x

-ex=

ex

x

（xlnx-x+1）．
设函数H（x）=xlnx-x+1   （ x＞1），
H'（x）=lnx+1-1=lnx＞0，
所以H（x）在（1，+∞）上单调递增，∴H（x）＞H（1）=0．
所以F'（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，F（x）在（1，+∞）上单调递增
∴F（x）＞F（1）=0．
因此不存在n＞1，使得eⁿlnn=eⁿ-e．
所以不存在两个互不相等且都不等于1的正实数m，n，使得Rt△OA_mB_m与Rt△OA_nB_n全等．