Question

已知sinα-sin(α-

π

2

)=

7

5

，且0＜α＜

π

4

．
（Ⅰ）求sinαcosα、sinα-cosα的值；
（Ⅱ）求

sin3α

1+tanα

-

sinα•cos3α

sinα+cosα

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用诱导公式转化已知条件，通过平方同角三角函数的基本关系式，求sinαcosα，然后对sinα-cosα平方代入sinαcosα的值，利用角的范围即可求出sinα-cosα的值；
（Ⅱ）利用切化弦，同分把

sin3α

1+tanα

-

sinα•cos3α

sinα+cosα

化简为（Ⅰ）所求出的值，代入求解即可．

解答：解：（Ⅰ） 由已知 sinα+cosα=

7

5

…①，
①式平方得：1+2sinαcosα=

49

25

…（2分）
∴sinαcosα=

12

25

…②…（4分）
（sinα-cosα）²=sin²α-2sinα•cosα+cos²α
将②代入得：
（sinα-cosα）²=1-2sinα•cosα=

1

25

又α∈(0，

π

4

)
∴sinα＜cosα
∴sinα-cosα=-

1

5

…（6分）
（Ⅱ）
原式=

sin3α

1+ sinα cosα

-

sinα•cos3α

sinα+cosα

=

sin3αcosα

sinα+cosα

-

sinα•cos3α

sinα+cosα

=

sin3αcosα-sinα•cos3α

sinα+cosα

=

sinαcosα(sin2α-cos2α)

sinα+cosα

=sinαcosα(sinα-cosα)=

12

25

•(-

1

5

)=-

12

125

…（12分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的基本公式的应用，解题的关键是角的范围与三角函数的值的大小的比较，切化弦的应用．