Question

已知椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点，

点是椭圆的右顶点．过点的直线交抛物线于两点，满足，

其中是坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的左顶点作轴平行线，过点作轴平行线，直线与

相交于点．若是以为一条腰的等腰三角形，求直线的方程

Answer 1

（1），，，设直线代入中，

整理得。设，则，

又， ， 由    

得，  解得  或（舍），得

所以椭圆的方程为.                     （7分）

（2）椭圆的左顶点，所以点. 易证三点共线.

(I)当为等腰的底边时，由于，是线段的中点，

，所以，即直线的方程为；        （11分）

 (II) 当为等腰的底边时，   又，

     解得，或   ，

所以直线的方程为，即；       （15分）

综上所述，当为等腰三角形时，直线的方程为或.