Question

平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，-2），点C满足，其中，且
（1）求点C的轨迹方程；（2）设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围．

Answer 1

（1）点C的轨迹方程为；（2）双曲线实轴长的取值范围是（0，1]．

(1)设C（x，y），根据，用表示x,y，再利用，可得x,y满足的关系式，即点C的轨迹方程.
(2)点C的轨迹方程与双曲线方程联立消去y后得到,
然后把题目条件以MN为直径的圆过原点，转化为再坐标化得，即，借助韦达定理可得到和的关系式，从而再借助的取范围，确定出a的取值范围，问题得解.
解：设C（x，y），因为，则
即
由，得，即点C的轨迹方程为……4分
（2）由，得
依题意知，设
则
因为以MN为直径的圆过原点，所以
即，即
得，得……………8分
∵，∴，∴
又，∴，∴，从而
∴双曲线实轴长的取值范围是（0，1]．……………12分