Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在直线CC₁上是否存在一点N，使得MN⊥AB₁？若存在，求出它的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：以A为原点，以AB顺时针旋转30°得到的直线为x轴，以AC为y轴，以AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，求出坐标A（0，0，0），B₁（

3

2

，

1

2

，2），M（

3

4

，

3

4

，0）
运用

AB1

•

MN

=0，解方程求解，注意0≤z≤2的应用．运用代数的方法求解几何问题．

解答： 解：以A为原点，以AB顺时针旋转30°得到的直线为x轴，以AC为y轴，以AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，
∴A（0，0，0），B₁（

3

2

，

1

2

，2），M（

3

4

，

3

4

，0）
设在侧棱CC₁上是否存在点N（0，1，z），使得MN⊥AB₁，即使得异面直线AB₁与MN所成的角为90°，
∴

AB1

=（

3

2

，

1

2

，2），

MN

=（-

3

4

，

1

4

，z）
∵异面直线AB₁与MN所成角为90°，
∴

AB1

•

MN

=0，
-

3

8

+

1

8

+2z=0，z=

1

8

，0＜z＜2
解得z=

1

8

，符合题意．
∴在侧棱CC₁上是存在点N，使异面直线AB₁与MN所成的角为90°，
即在侧棱CC₁上是存在点N，使得MN⊥AB₁

点评：本题考查异面直线AB₁与MN所成的角，考查运算求解能力，推理论证能力，有一定的探索性．