Question

在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，∠， ，平面⊥平面.

（1）求证：⊥平面；

（2）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；

（3）在棱上是否存在点使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）因为 ，所以.因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面；（Ⅱ） ；（Ⅲ）解：在棱上存在点使得∥平面，此时.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：因为 ，

所以 .                        ………………………………………1分

因为 平面平面，平面平面，

平面，

所以 平面.                  ………………………………………3分

（Ⅱ）解：取的中点，连接.

因为，

所以 .

因为 平面平面，平面平面，平面，

所以 平面.                ………………………………………4分

如图，

以为原点，所在的直线为轴，在平面内过垂直于的直

线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系．不妨设.由

直角梯形中可得，，

.

所以 ，.

设平面的法向量.

因为

所以

即

令，则.

所以 .                 ………………………………………7分

取平面的一个法向量n.

所以 .

所以 平面和平面所成的二面角（小于）的大小为.

………………………………………9分

（Ⅲ）解：在棱上存在点使得∥平面，此时. 理由如下：…………10分

取的中点，连接，，.

则 ∥，.

因为 ，

所以 .

因为 ∥，

所以 四边形是平行四边形.

所以 ∥.

因为 ，

所以 平面∥平面.           ………………………………………13分

因为 平面，

所以 ∥平面.               ………………………………………14分

考点：本题考查了空间中线面关系的判断及角的求法

点评：本题主要考查线面关系的判定及二面角的求法，考查空间想象能力与逻辑思维能力，对于立体几何问题的证明问题，要求我们熟练应用课本上的定理、性质、结论等，要求会用几何法和向量法两种方法求解