Question

现有一条长度为1的绳子．
（1）用剪刀剪成两段，使得两段长度都大于的概率是多少？
（2）用剪刀剪成三段，使三段能构成三角形的概率是多少？

Answer 1

解：（1）若想两段长短都大于，则只能在两个三等分点之间剪断，则其概率为．
（2）设三段长分别为x，y，1-x-y，
则?其区域构成三角形OAB（如图14-4-5）．
若使剪成的三段构成三角形，则x，y须满足：
?此时的区域为三角形CDE，故所求概率为．
分析：（1）本题利用几何概型求解．只须求出满足：断点与绳子两端的距离都大于的长度，再将求得的长度值与整个绳子长度求比值即得．
（2）先设绳子其中两段的长度分别为x、y，分别表示出绳子随机地折成3段的x，y的约束条件和3段构成三角形的约束条件，再画出约束条件表示的平面区域，利用面积测度即可求出构成三角形的概率．
点评：本小题主要几何概型、几何概型的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．