Question

3．已知向量$\overrightarrow m=（2cosωx，-1），\overrightarrow n=（sinωx-cosωx，2）$（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n+3$，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移$\frac{π}{4}$个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，得到函数g（x）的图象，当$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$时，求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用张弦函数的定义域和值域，求得g（x）的值域．

解答 解：（1）f（x））=$\overrightarrow m•\overrightarrow n+3$=2cosωx（sinωx-cosωx）-2+3=sin2ωx-cos2ωx=$\sqrt{2}sin（2ωx-\frac{π}{4}）$，
∵$T=π∴\frac{2π}{2ω}=π∴ω=1$，∴$f（x）=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，求得f（x）的增区间为 $[{-\frac{π}{8}+kπ，\frac{3π}{8}+kπ}]k∈z$．
（2）将函数f（x）的图象先向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到y=$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象；
然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，得到函数g（x）=$\sqrt{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$）的图象，
故$g（x）=\sqrt{2}sin（4x+\frac{π}{4}）$，
∵$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}∴\frac{5π}{4}≤4x+\frac{π}{4}≤\frac{9π}{4}$，
、∴$-1≤sin（4x+\frac{π}{4}）≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故函数g（x）的值域是$[{-\sqrt{2}，1}]$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．