Question

已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．

（1）求圆的方程；

（2）设直线与该圆相交于两点，求实数的取值范围；

（3） 在（2）的条件下，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设圆心为（）．

由于圆与直线相切，且半径为，所以，

即．

因为为整数，故．

故所求的圆的方程是．

（2）直线即．代入圆的方程，消去整理，得

．

由于直线交圆于两点，故，

即，解得 ，或.

所以实数的取值范围是.

（3）设符合条件的实数存在，由（2）得，则直线的斜率为，

的方程为， 即．

由于垂直平分弦，故圆心必在上．

所以，解得．[来源:学§科§网Z§X§X§K]

由于，

故存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．