Question

如图，△ABC中，∠C=90^o，∠A=45^o，DC⊥平面ABC，DC=6，G为△ABC的重心M为GD上的一点，∠MCG=45^o．
（1）求证AB⊥DG；
（2）求二面角G-MC-B的大小．

Answer 1

解：（1）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90^o故△ABC为等腰直角三角形
∵G为△ABC的重心，∴AB⊥GC①
又∵DC⊥平面ABC，AB平面ABC∴AB⊥DC②
由①②及DC∩GC=C知AB⊥面DGC，
∵DG?面DGC，∴AB⊥DG（6分）
（2）延长CG交AB于点N∵G为△ABC的重心∴N是AB的中点
∵∠ACB=90^o∴
连接DN延长CM交DN于点C，由CN=DC=6，∠MCG=45^o
知CE⊥DN，则E是DN的中点，连接BE，由AB⊥面DGC，知BE⊥CE
故∠BEN为二面角G-MC-B的平面角（9分）
在Rt△BEN中，BN=6，EN=，∴
∴二面角G-MC-B的大小是（12分）
分析：（1）欲证AB⊥DG，而DG?面DGC，故先证AB⊥面DGC，而AB⊥GC，AB⊥DC，DC∩GC=C，满足线面垂直的判定定理，从而问题得证；
（2）延长CG交AB于点N，G为△ABC的重心则N是AB的中点，连接DN延长CM交DN于点C，连接BE，根据二面角平面角的定义可知∠BEN为二面角G-MC-B的平面角，在Rt△BEN中，求出此角即可．
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及与二面角有关的立体几何综合题，同时考查了空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．