Question

己知集合A={x||x-1|＜2}，B={x|

x(x-4)

(x-1)(x-2)

≤0}，C={x|2x²+mx-1＜0}．
（Ⅰ）求A∩B，A∪B；
（Ⅱ）若C⊆A∪B，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由绝对值不等式的解法即可求出集合A，把分式不等式等价转化为整式，再利用穿根法即可得出集合B，进而根据交集与并集的定义即可得出答案；
（Ⅱ）由已知可知集合C≠Φ，故方程2x²+mx-1=0小根大于或等于-1，大根小于或等于4，进而利用二次函数的有关性质即可求出m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵|x-1|＜2，∴-2＜x-1＜2，即-1＜x＜3，∴集合A=（-1，3）；
由

x(x-4)

(x-1)(x-2)

≤0，得x（x-1）（x-2）（x-4）≤0，且（x-1）（x-2）≠0，由穿根法解得0≤x＜1，2＜x≤4，
∴集合B=[0，1）∪（2，4]．
∴A∩B=[0，1）∪（2，3），A∪B=（-1，4]；
（Ⅱ）∵C⊆（-1，4]，∴方程2x²+mx-1=0小根大于或等于-1，大根小于或等于4，
令f（x）=2x²+mx-1，则

f(-1)=1-m≥0 f(4)=4m+31≥0，解之得- 31 4 ≤m≤1 -1＜- m 4 ＜4

．

点评：正确掌握绝对值不等式的解法、分式不等式等价转化为整式不等式及穿根法、集合间的运算法则及二次函数的性质是解题的关键．