Question

（1）已知0＜α＜

π

4

，β为f（x）=cos（2x+

π

8

）的最小正周期，

a

=（tan（α+

1

4

β），-1），

b

=（cosα，2），且

a

•

b

=3．求

cos2α+sin2(α+β)

cosα-sinα

的值．  
（2）如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知

AM

=

c

、

AN

=

d

，试用

c

、

d

表示

AB

和

AD

．

Answer 1

分析：（1）先根据β为f（x）=cos（2x+

π

8

）的最小正周期求出β，再结合

a

•

b

=3求出cosα•tan（α+

1

4

π）=5；最后结合二倍角的正弦以及两角和与差的正切函数对所求问题化简，再把所求cosα•tan（α+

1

4

π）=5代入即可求出答案．
（2）由M、N分别为DC、BC的中点，则

DM

=

1

2

AB

，我们易根据向量加法的三角形法则，用

c

、

d

表示

AB

和

AD

．

解答：解：（1）：因为β为f（x）=cos（2x+

π

8

）的最小正周期，故β=π．
因

a

•

b

=cosα•tan（α+

1

4

β）-2=3．
故cosα•tan（α+

1

4

π）=5．
由于0＜α＜

π

4

，
所以

cos2α+sin2(α+β)

cosα-sinα

=

2cos 2α+sin(2α+2π)

cosα-sinα

=

2cos 2α+2sinαcosα

cosα-sinα

=2cosα•

cosα+sinα

cosα-sinα

=2cosα•

1+tanα

1-tanα

=2cosα•tan（α+

π

4

）
=2×5=10．                               （6分）
（2）由

DM

=

1

2

AB

，

BN

=

1

2

AD

，
∴

C

=

AD

+

DM

=

AD

+

1

2

AB

，

d

=

AB

 +

BN

=

AB

+

1

2

AD

．
解得：

AB

=

2

3

（2

d

-

c

），

AC

=

2

3

（2

c

-

d

） …（12分）

点评：本题第二问考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，利用向量加减法的三角形法则，及数乘向量运算法则，将平面内任一向量分解为用基底向量表示的形式，是解答本题的关键．