设m.n是正整数.数列Am:a1.a2.-.am.其中ai是集合{1.2.3.-.n}中互不相同的元素．若数列Am满足:只要存在i.j使ai+aj≤n.总存在k有ai+aj=ak.则称数列Am是“好数列．(Ⅰ)当m=6.n=100时.(ⅰ)若数列A6:11.78.x.y.97.90是一个“好数列 .试写出x.y的值.并判断数列:11.78.90.x.97.y是否是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．设m，n（3≤m≤n）是正整数，数列A_m：a₁，a₂，…，a_m，其中a_i（1≤i≤m）是集合{1，2，3，…，n}中互不相同的元素．若数列A_m满足：只要存在i，j（1≤i＜j≤m）使a_i+a_j≤n，总存在k（1≤k≤m）有a_i+a_j=a_k，则称数列A_m是“好数列”．
（Ⅰ）当m=6，n=100时，
（ⅰ）若数列A₆：11，78，x，y，97，90是一个“好数列”，试写出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是否是一个“好数列”？
（ⅱ）若数列A₆：11，78，a，b，c，d是“好数列”，且a＜b＜c＜d，求a，b，c，d共有多少种不同的取值？
（Ⅱ）若数列A_m是“好数列”，且m是偶数，证明：$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_m}}}{m}≥\frac{n+1}{2}$．

分析（Ⅰ）（ⅰ）由“好数列”定义能求出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是一个“好数列”．
（ⅱ）由数列必含89，100两项，若剩下两项从90，91，…，99中任取，有$C_{10}^2=45$种；若剩下两项从79，80，…，88中任取一个，有10种．由此分类讨论，能求出a，b，c，d共有多少种不同的取值．
（Ⅱ）一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”．设a₁＜a₂＜…＜a_m．把数列配对：${a_1}+{a_m}，{a_2}+{a_{m-1}}，…，{a_{\frac{m}{2}}}+{a_{\frac{m}{2}+1}}$，只要证明每一对和数都不小于n+1即可．例用反证法，能证明$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_m}}}{m}≥\frac{n+1}{2}$．

解答（本小题13分）
解：（Ⅰ）（ⅰ）∵m=6，n=100，数列A₆：11，78，x，y，97，90是一个“好数列”，
∴x=89，y=100，或x=100，y=89，
数列：11，78，90，x，97，y也是一个“好数列”． …（3分）
（ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含89，100两项，
若剩下两项从90，91，…，99中任取，则都符合条件，有$C_{10}^2=45$种；
若剩下两项从79，80，…，88中任取一个，
则另一项必对应90，91，…，99中的一个，有10种；
若取68≤a≤77，则79≤11+a≤88，90≤22+a≤99，“好数列”必超过6项，不符合；
若取a=67，则11+a=78∈A₆，另一项可从90，91，…，99中任取一个，有10种；
若取56＜a＜67，则67＜11+a＜78，78＜22+a＜89，“好数列”必超过6项，不符合；
若取a=56，则b=67，符合条件，
若取a＜56，则易知“好数列”必超过6项，不符合；
综上，a，b，c，d共有66种不同的取值． …（7分）
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”．
又“好数列”a₁，a₂，…，a_m各项互不相同，所以，不妨设a₁＜a₂＜…＜a_m．
把数列配对：${a_1}+{a_m}，{a_2}+{a_{m-1}}，…，{a_{\frac{m}{2}}}+{a_{\frac{m}{2}+1}}$，
只要证明每一对和数都不小于n+1即可．
用反证法，假设存在$1≤j≤\frac{m}{2}$，使a_j+a_m+1-j≤n，
因为数列单调递增，所以a_m-j+1＜a₁+a_m-j+1＜a₂+a_m-j+1＜…＜a_j+a_m-j+1≤n，
又因为“好数列”，故存在1≤k≤m，使得a_i+a_m+1-j=a_k（1≤i≤j），
显然a_k＞a_m+1-j，故k＞m+1-j，所以a_k只有j-1个不同取值，而a_i+a_m+1-j有j个不同取值，矛盾．
所以，${a_1}+{a_m}，{a_2}+{a_{m-1}}，…，{a_{\frac{m}{2}}}+{a_{\frac{m}{2}+1}}$每一对和数都不小于n+1，
故${a_1}+{a_2}+…+{a_m}≥\frac{m}{2}（n+1）$，即$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_m}}}{m}≥\frac{n+1}{2}$．…（13分）

点评本题考查“好数列”的判断与求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．

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