Question

19．如图，在斜三棱柱中，

，侧面与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱的中点.

（Ⅰ）求与底面ABC所成的角；

（Ⅱ）证明//平面；

（Ⅲ）求经过四点的球的体积.

Answer 1

19.（Ⅰ）解：过A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足为H.

连结AH，并延长交BC于G，连结EG，于是∠A₁AH为A₁A与底面ABC所成的角

∵∠A₁AB=∠A₁AC

∴AG为∠BAC的平分线。

又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G为BC的中点因此，由三垂线定理，A₁A⊥BC

∵A₁A∥B₁B，且EC∥B₁B   EC⊥BC，于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角，即

∠AGE=120°

由于四边形A₁AGE为平行四边形，得

∠A₁AG=60°

所以，A₁A与底面ABC所成的角为60°。

（Ⅱ）证明：设EG与B₁C的交点为P，则点P为EG的中点，连结PF。

 在平行四边形AGEA₁中，因F为A₁A的中点，故A₁E∥FP.

 而FP平面B₁FC，A₁E平面B₁FC，所以A₁E∥平面B₁FC.

（Ⅲ）解：连结A₁C，在△A₁AC和△A₁AB中，由于AC=AB，           ∠A₁AC=∠A₁AB，A₁A= A₁A，则△A₁AC≌△A₁AB，故A₁C=A₁B.由已知得

A₁A= A₁B=A₁C=a

又∵A₁H⊥平面ABC，∴H为BC的外心.

设所求球的球心为O，则O∈A₁H，且球心O与A₁A中点的连线OF⊥A₁A.

在Rt△A₁FO中，

     A₁O==。

故所求球的半径R=a. 球的体积

   V=πR³=π（a）³=πa³。