Question

4．已知曲线y=ax²+lnx（a＞0）在点P（1，a）处的切线与直线x=0和y=0围成的面积为$\frac{2}{3}$，则实数a的值为1．

Answer 1

分析 求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，再分别令x=0，y=0，求得截距，运用三角形的面积公式计算即可得到a．

解答 解：y=ax²+lnx（a＞0）的导数为y′=2ax+$\frac{1}{x}$，
即有在点P（1，a）处的切线斜率为2a+1，
则在点P（1，a）处的切线方程为y-a=（2a+1）（x-1），
令x=0，则y=-a-1，
令y=0，则x=$\frac{a+1}{2a+1}$，
则有$\frac{1}{2}$•（a+1）•$\frac{a+1}{2a+1}$=$\frac{2}{3}$，
解得a=1（-$\frac{1}{3}$舍去）．
故答案为：1．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，正确求导，掌握导数的几何意义和直线方程的形式是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．