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已知函数f(x)=.设a,b∈R,且a≠b.求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.

答案:
解析:

  思路  本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明

  思路  本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明.

  解答  证法一  |f(a)-f(b)|<|a-b|

  ||<|a-b|

  ()2<(a-b)2

  2+a2+b2-2<a2+b2-2ab

  1+ab<

  当ab≤-1时,①式显然成立;

  当ab>-1时,

  ①式(1+ab)2<(1+a2)(1+b2)2ab<a2+b2.②

  因为a≠b,所以②式成立.

  故原不等式成立.

  证法二  因为||

  =

  <

  ≤=|a-b|,

  所以原不等式成立.

  评析  此题可以用三角代换法、数形结合法等证明,留给读者去思考.


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    (4)若a+b+c=0,则不等式f [f (x)]<x对一切x都成立;

    正确的序号有          .              

 

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C.x1x2x1x2    D.x1x2>x1x2

 

 

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