Question

已知椭圆：=l（a＞b＞0）的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心率等于．
（1）求椭圆的方程．
（2）Q是椭圆上位于x轴下方的一点，F₁F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线QF₁的倾斜角为，求△QF₁F₂的面积；
（3）以B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，判断这样的三角形存在吗？若存在，有几个？若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）易知b=1，由离心率为，得，再由a²=b²+c²可求得a，于是得到椭圆方程；
（2）易求直线QF₁的方程，与椭圆方程联立可求得点Q的坐标，由三角形面积公式得=，代入即可求得答案；
（3）假设这样的三角形存在，设AB的方程为y=kx+1（k＞0），则BC的方程为y=-x+1，分别于椭圆方程联立可求得点A、C的横坐标，由|AB|=|BC|得点A、C的横坐标的方程，综上可得关于k的方程，解出即可；
解答：解：（1）依题意，b=1，因为离心率等于，
所以，解得a²=4，
所以椭圆方程为：；
（2）F₁（-，0），直线QF₁：y=，代入中，
得，，又，
所以==；
（3）假设这样的三角形存在，设AB的方程为y=kx+1（k＞0），则BC的方程为y=-x+1，
由，得（4k²+1）x²+8kx=0，解得①，
由，得（k²+4）x²-8kx=0，解得②，
因为|AB|=|BC|，得：，
将y_A=kx_A+1，代入得：
，，
将①②代入得：k²（4+k²）²=（4k²+1）²，即[k（4+k²）+1+4k²][k（4+k²）-（1+4k²）]=0，
因为k＞0，k（4+k²）+1+4k²＞0，得（k-1）（k²-3k+1）=0，
解得k=1，k=，k=，
所以存在这样的等腰直角三角形．
点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生运用所学知识分析解决问题的能力．