Question

一个三棱锥铁框架的棱长均为2，其内置一气球，使其充气至尽可能的膨胀（保持球的形状），则此球的表面积为（　　）

• A、

  2π

  3

• B、2π
• C、3π
• D、6π

Answer 1

分析：画出图形，通过求解AE，OS，OE，求出正四面体的内接球的半径，即可求解球的表面积．

解答：解：∵一个三棱锥铁框架的棱长均为2，几何体的正四面体，
如图：球的球心O在底面ABC的中心E与S的连线上，并且AO=OS，
∵一个三棱锥铁框架的棱长均为2，∴SA=SB=SC=AB=AC=BC=2，
∴D为BC的中点，AD=

3

，AE=

2 3

3

，SE=

SA2-AE2

=

22-( 2 3 3 )2

=

2 6

3

；
球的半径为r，OA=

1+r2

，OE=SE-OS=SE-OA=

2 6

3

-

1+r2

，
AO²=OE²+AE²，
∴1+r2=(

2 6

3

-

1+r2

)2+(

2 3

3

)2，
解得r=

2

2

∴所求球的表面积S=4πr²=4π×(

2

2

)2=2π．
故选：B．

点评：本题考查球的表面积的求法，几何体的结构特征，考查空间想象能力以及计算能力．