Question

如图，已知AB是⊙0的弦，BC是0D的切线，P是AB上一点，D为圆心，且OP=5，PA=4，PB=6，则0D的半径为

 

（2分）：sin∠ABC=

 

（3分）．

Answer 1

分析：做出过OP的圆的直径DE，由相交弦定理，结合OP=5，PA=4，PB=6，构造关于半径R的方程，解方程即可求出圆的半径，又由切线的性质，我们易得sin∠ABC=cos∠OBP，解三角形OBP即可得到答案．

解答：解：做出过OP的圆的直径DE，连接OB，如下图所示：
∵OP=5，PA=4，PB=6，
由相交弦定理得：
（R-OP）•（R+OP）=PA•PB
解得：R=7
双∵BC为圆的切线，
∴OB⊥BC
∴sin∠ABC=cos∠OBP=

BP2+OB2-OP2

2BP•OB

=

5

7

故答案为：7，

5

7

点评：本题考查的知识点是圆的切线的性质定理，相交弦定理，其中根据切线的性质，将sin∠ABC转化为cos∠OBP，再利用余弦定理进行求解是解答本题的关键．