Question

对于直角坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），定义它们之间的一种“新距离”：|AB|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上．则|AC|+|BC|=|AB|；
②在△ABC中，若∠C=90°，则|AC|²+|CB|²=|AB|²；
③在△ABC中，|AC|+|CB|＞|AB|．
其中的真命题为（ ）
A．①②③
B．①②
C．①
D．②③

Answer 1

【答案】分析：对于①若点C在线段AB上，设C点坐标为（x，y）然后代入验证显然|AC|+|CB|=|AB|成立．成立故正确．
对于②平方后不能消除x，y，命题不成立；
对于③在△ABC中，用坐标表示|AC|+|CB|然后根据绝对值不等式可得到大于|AB|不成立，故可得到答案．
解答：解：对于直角坐标平面内的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
定义它们之间的一种“距离”：|AB|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．
对于①若点C在线段AB上，设C点坐标为（x，y），x在x₁、x₂之间，y在y₁、y₂之间，
则|AC|+|CB|=|x-x₁|+|y-y₁|+|x₂-x|+|y₂-y|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=|AB|成立，故①正确．
对于②平方后不能消除x，y，命题不成立；
对于③在△ABC中，|AC|+|CB|=|x-x₁|+|y-y₁|+|x₂-x|+|y₂-y|≥|（x-x₁）+（x₂-x）|+|（y-y₁）+（y₂-y）|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=|AB|．③不一定成立
∴命题①成立，
故选：C．
点评：此题主要考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求．属于中档题目．本题的易错点在于不等式：|a|+|b|≥|a+b|忘记等号也可以成立．