Question

已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，若关于x的方程h（x）+k=0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式化简函数，结合函数的图象关于直线对称，且ω∈（0，1），即可求得函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）确定h（x）=2sin（2x-），关于x的方程h（x）+k=0在区间上有且只有一个实数解，等价于2sint+k=0在上有且只有一个实数解，由此可得结论．
解答：解：（Ⅰ）∵向量，，
∴=（cos²ωx-sin²ωx，sinωx）•=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+）
∵函数图象关于直线对称，∴2sin（πω+）=±2
∴πω+=kπ+（k∈Z），即ω=k+（k∈Z）
∵ω∈（0，1），∴k=0，ω=
∴f（x）=2sin（x+）；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）=2sin（2x-）的图象，
令2x-=t，∵x∈，∴
∴关于x的方程h（x）+k=0在区间上有且只有一个实数解，即2sint+k=0在上有且只有一个实数解，
即y=2sint，的图象与y=-k有且只有一个交点，
∴-＜k≤或k=-2．
点评：本题考查向量的数量积运算，考查函数解析式的确定，考查图象的变换，考查解的问题，确定函数的解析式是关键．