Question

证明下列恒等式：
（1）1+sinα=（sin

α

2

+cos

α

2

）²；
（2）

1+sin2α-cos2α

1+sin2α+cos2α

=tanα；
（3）

1+sinα

cosα

=

1+tan α 2

1-tan α 2

；
（4）tanα+cotα=

2

sin2α

．

Answer 1

考点：三角函数恒等式的证明

专题：证明题,三角函数的求值

分析：（1）由右边化简，运用平方关系和二倍角公式，即可得证；
（2）运用二倍角的正弦和余弦公式，由左边证得右边；
（3）由左边运用平方关系和二倍角公式，因式分解，即可得到右边；
（4）由左边运用切化弦，结合配方关系和二倍角的正弦公式，即可得到右边．

解答： 证明：（1）由于（sin

α

2

+cos

α

2

）²=sin²

α

2

+cos²

α

2

+2sin

α

2

cos

α

2

=1+sinα，
则有1+sinα=（sin

α

2

+cos

α

2

）²；
（2）

1+sin2α-cos2α

1+sin2α+cos2α

=

(1-cos2α)+sin2α

(1+cos2α)+sin2α

=

2sin2α+2sinαcosα

2cos2α+2sinαcosα

=

2sinα(sinα+cosα)

2cosα(cosα+sinα)

=tanα，
则

1+sin2α-cos2α

1+sin2α+cos2α

=tanα；
（3）

1+sinα

cosα

=

sin2 α 2 +cos2 α 2 +2sin α 2 cos α 2

cos2 α 2 -sin2 α 2

=

(cos α 2 +sin α 2 )2

(cos α 2 -sin α 2 )(cos α 2 +sin α 2 )

=

cos α 2 +sin α 2

cos α 2 -sin α 2

=

1+tan α 2

1-tan α 2

．
则

1+sinα

cosα

=

1+tan α 2

1-tan α 2

；
（4）tanα+cotα=

sinα

cosα

+

cosα

sinα

=

sin2α+cos2α

sinαcosα

=

1

1 2 sin2α

=

2

sin2α

．
即有tanα+cotα=

2

sin2α

．

点评：本题考查三角恒等式的证明，考查同角的平方关系和商数关系的运用，考查二倍角公式的运用，考查化简整理的能力，属于基础题．