Question

椭圆的四个顶点A，B，C，D构成的四边形为菱形，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，设出直线AB的方程，利用菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，可得原点到直线AB的距离等于半焦距，从而可求椭圆的离心率．
解答：解：由题意，不妨设点A（a，0），B（0，b），则直线AB的方程为：
即bx+ay-ab=0
∵菱形ABCD的内切圆恰好过焦点
∴原点到直线AB的距离为
∴a²b²=c²（a²+b²）
∴a²（a²-c²）=c²（2a²-c²）
∴a⁴-3a²c²+c⁴=0
∴e⁴-3e²+1=0
∴
∵0＜e＜1
∴
故选C．
点评：本题重点考查椭圆的几何性质，解题的关键是利用菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，得到原点到直线AB的距离等于半焦距．