Question

已知圆A：x2＋y2－2x－2y－2＝0.

(1)若直线l：ax＋by－4＝0平分圆A的周长，求原点O到直线l的距离的最大值；

(2)若圆B平分圆A的周长，圆心B在直线y＝2x上，求符合条件且半径最小的圆B的方程．

 

Answer 1

（1） （2）(x－)2＋(y－)2＝

【解析】(1)圆A的方程即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为A(1,1)，半径为r＝2.

由题意知直线l经过圆心A(1,1)，所以a＋b－4＝0，得b＝4－a.

原点O到直线l的距离d＝.

因为a2＋b2＝a2＋(4－a)2＝2(a－2)2＋8，所以当a＝2时，a2＋b2取得最小值8.

故d的最大值为＝.

(2)由题意知圆B与圆A的相交弦为圆A的一条直径，它经过圆心A.

设圆B的圆心为B(a,2a)，半径为R.如图所示，在圆B中，

由垂径定理并结合图形可得：R2＝22＋|AB|2＝4＋(a－1)2＋(2a－1)2＝5(a－)2＋.

所以当a＝时，R2取得最小值.

故符合条件且半径最小的圆B的方程为(x－)2＋(y－)2＝.