Question

已知点O是正方形ABCD两对角线的交点，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=BF=2DE.

（1）求证：EO⊥平面AFC；

（2）在线段EF上找一点M，使三棱锥M—ACF为正三棱锥；

（3）试问在线段DF(不含端点)上是否存在一点R,使得CR∥平面ABF,若存在,请指出点R的位置；若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1)证明:连结FO.设AB=BF=2DE=2a,则DO=OB=a,所以EO=a,FO=a,EF=3a.

在△EOF中,由EO²+FO²=EF²,知EO⊥FO.

又DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AC,而BD⊥AC,所以AC⊥平面DOE,故AC⊥EO.

由AC面AFC,FO面AFC，AC∩FO=O,所以EO⊥平面AFC.

(2)解：在线段EF上取点M，使得EM∶MF=1∶2，此时三棱锥M—ACF为正三棱锥.

因为AF=FC=AC=2a,

所以△AFC是正三角形.

在线段OF上取点G,使得OG∶GF=1∶2,则点G是△AFC的重心,也就是△AFC的中心.

连结MG,则MG∥EO,由(1)得MG⊥平面AFC.

故此时三棱锥M—ACF为正三棱锥.

(3)解：找不到这样的点R,使得CR∥平面ABF.

假设存在这样的点R,使得CR∥平面ABF.

因为点R与点D不重合,所以CD与CR相交.

又CD∥平面ABF,CR∥平面ABF,且CR平面CDF,CD平面CDF,所以平面CDF∥平面ABF.

而平面CDF与平面ABF有公共点F,所以平面CDF与平面ABF必定相交,矛盾.

所以找不到这样的点R,使得CR∥平面ABF.