Question

已知a＞0且a≠1，数列{a_n}是首项与公比均为a的等比数列，数列{b_n}满足b_n=a_n•lga_n
（1）若a=3，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）若对于n∈N^*，总有b_n＜b_n+1，求a的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列{a_n}是首项与公比均为a的等比数列，当a=3时，an=3n，可得b_n=a_n•lga_n=3ⁿlg3ⁿ=n•3ⁿ．再利用“错位相减法”即可得出；
（2）数列{a_n}是首项与公比均为a的等比数列，a＞0且a≠1，可得an=an．b_n=a_n•lga_n=n•aⁿ．由于对于n∈N^*，总有b_n＜b_n+1，可得a＞

n

n+1

，由于数列{

n

n+1

}是单调递增数列，且

n

n+1

=1-

1

n+1

＜1，即可得出．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是首项与公比均为a的等比数列，
∴当a=3时，an=3n，
b_n=a_n•lga_n=3ⁿlg3ⁿ=n•3ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
3S_n=3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=

3(3n-1)

3-1

-n×3ⁿ⁺¹=

1-2n

2

×3n+1-

3

2

，
∴S_n=

2n-1

4

×3n+1+

3

4

．
（2）∵数列{a_n}是首项与公比均为a的等比数列，a＞0且a≠1，
∴an=an．
∴b_n=a_n•lga_n=n•aⁿ．
∵对于n∈N^*，总有b_n＜b_n+1，
∴n•aⁿ＜（n+1）•aⁿ⁺¹，
∴a＞

n

n+1

，
∵数列{

n

n+1

}是单调递增数列，且

n

n+1

=1-

1

n+1

＜1，
∴a≥1．
∴a的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．