Question

设F是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：∠AFM=∠BFN．

Answer 1

分析：（1）欲求椭圆方程，只需求出a，b的值即可，根据|MN|=8，且|PM|=2|MF|可得a，c的值，再利用椭圆中，a，b，c的关系就可求出b值．
（2）欲证∠AFM=∠BFN，只需证明直线AF与BF倾斜角互补，即斜率互为负倒数即可，当AB斜率为0时，显然直线AF与BF倾斜角互补，当AB斜率不为0时，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求出x₁+x₂，x₁x₂，设出A，B点坐标，把直线AF，BF的斜率用A，B点坐标表示，再根据前面求出的x₁+x₂，x₁x₂，化简，即可判断．

解答：解（1）∵|MN|=8∴a=4

又∵|PM|=2|MF|

，∴

a2 c -a=2(a-c)

化简得，a²-3ac+2c²=0，两边同除a²，得，

2e2-3e+1=0⇒e= 1 2 或e=1(舍去)

又∵a=4，∴c=2，，

b2=a2-c2=12

∴椭圆的标准方程为

x2

16

+

y2

12

=1
（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0．满足题意
当AB的斜率不为0时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程为x=my-8，
代入椭圆方程，整理得（3m²+4）y²-48my+144=0
则△=(48m)2-4×144(3m2+4)，y1+y2=

48m

3m2+4

，y1•y2=

144

3m2+4

∴kAF+kBF=

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=

y1

my1-6

+

y2

my2-6

=

2my1y2-6(y1+y2)

(my1-6)(my2-6)

=0
∴k_AF+k_BF=0，从而∠AFM=∠BFN．
综上可知：恒有∠AFM=∠BFN．

点评：本题主要考查了椭圆标准方程的求法，直线与圆锥曲线位置关系的判断，做题时注意应用韦达定理．