Question

已知函数f(x)的导数满足，常数α为方程f(x)＝x的实数根．

(1)．若函数f(x)的定义域为I，对任意，存在，使等式f(b)－f(a)＝成立，求证：方程f(x)＝x不存在异于α的实数根；

(2)．求证：当x＞α时，总有f(x)＜x成立；

(3)．对任意x₁，x₂，若满足|x₁－α|＜1，|x₂－α|＜1，求证|f(x₁)－f(x₂)|＜2．

Answer 1

答案：
解析：

(1)．用反证法，设方程有异于的实根，即，不妨设，则，在与之间必存在一点c，， 　　由题意使等式成立，　　　　　　　　2分 　　因为，所以必有，但这与矛盾． 　　因此，如若也是方程的根，则必有，即方程不存在异于的实数根．　　　　4分 　　(2)．令，　　　　　　　　　　　　　　　　5分 　　，　　　　　　　　　　　　　　　　6分 　　为增函数．　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分 　　又当时，，即　　　　　　　　　　9分 　　(3)．不妨设，为增函数，即　　　　　　10分 　　又函数为减函数．　　　　　　　　　　　　　11分 　　即　　　　　　　　　　　　12分 　　即 　　∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分