Question

命题p：一次函数y=（a-1）x+2在R上为减函数；命题q：关于x的不等式ax²＜ax-1的解集是Ø．
（1）若命题q为真命题，试求a的取值范围；
（2）若“p且q”为真命题，试求a的取值范围；
（3）若“p或q”为真命题，试求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：由一次函数y=（a-1）x+2在R上为减函数可得即P：a＜1；由不等式ax²＜ax-1的解集是Ø．可得ax²-ax+1≥0恒成立，结合二次函数的性质可得q：0≤a≤4
（1）若命题q为真命题，可求
（2）若“p且q”为真命题，则命题p，q都为真命题
（3）若“p或q”为真命题，则p，q至少一个为真命题，其对立事件是p，q都为假命题，从而可求
解答：解：∵一次函数y=（a-1）x+2在R上为减函数
∴a-1＜0 即P：a＜1
∵关于x的不等式ax²＜ax-1的解集是Ø．
∴ax²-ax+1≥0恒成立
（i）当a=0时，1≥0恒成立，符合题意
（ii）当a≠0时，解可得，0＜a≤4
综上可得，0≤a≤4
即q：0≤a≤4
（1）若命题q为真命题，则0≤a≤4
（2）若“p且q”为真命题，则命题p，q都为真命题
∴
∴0≤a＜1
（3）若“p或q”为真命题，则p，q至少一个为真命题
而当p，q都为假命题时，，即a＞4
∴当p或q为真时，a≤4
点评：本题主要考查了一次函数的单调性与系数的关系，二次函数的恒成立的求解及复合命题的真假判断的应用．要注意（3）中利用对立事件求解